TÉTEL: (Állítás):

Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180°, akkor a négyszög húrnégyszög.

Bizonyítás:

Azt kell bizonyítanunk, hogy ha az ABCD négyszög két tetszőleges szemközti szögének összege 180°, akkor ebből következik, hogy az ABCD négyszög húrnégyszög. A bizonyításnál felhasználjuk, hogy minden háromszög köré rajzolható a csúcsokat tartalmazó kör.

Az ABCD négyszög csúcsai közül válasszuk ki az A, B, D csúcsokat. (Bármelyik másik hármat is választhatnánk.) Van olyan körvonal, amely az ABD háromszög mindhárom csúcsán átmegy.

Bizonyítandó:

A C csúcs is rajta van ezen a körön.

A bizonyítást indirekt módon végezzük: Tegyük fel, hogy a C pont nincs rajta a körön.

Az ábrán látható, hogy feltevésünk szerint C pont nincs rajta az A, B, D pontokat tartalmazó körön.

Vegyünk fel a B, D végpontú A-t nem tartalmazó köríven egy C’ pontot. Az ABC’D négyszög húrnégyszög, hiszen mind a négy csúcsa illeszkedik a körvonalra. A húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°, tehát:

a + g ’ = 180°

A kiindulási feltételből következik, hogy

a + g = 180°

Ekkor azonban:

g = g ’

ami lehetetlen, mert ha egy konvex szög csúcsa a körön belül (kívül) van, akkor a szög nagyobb (kisebb) az ugyanahhoz a körívhez tartozó kerületi szögnél.

Az az állításunk, hogy a C pont nincs rajta az A, B, D pontokra illeszkedő körvonalon, ellentmondáshoz vezetett. Ebből következik, hogy a C pont nincs rajta az A, B, D pontokra illeszkedő körvonalon állítás hamis. Akkor az ellentettjének igaznak kell lennie.

A C pont rajta van az A, B, D pontokra illeszkedő körvonalon.

Ekkor azonban az A, B, C, D négyszög húrnégyszög.

Állításunkat bebizonyítottuk.