Ha a számsorozat bármely tagjából a megelőző tagot kivonva a különbség állandó, akkor a sorozat számtani sorozat.

A különbség jele: d (differencia: különbség latinul)

(Másképp: Ha a számsorozat különbségsorozata állandó, akkor a sorozat számtani sorozat.)

A számtani sorozat növekvő, ha d > 0.

A számtani sorozat csökkenő, ha d < 0.

A számtani sorozat konstans (állandó), ha d = 0.

Ha a számtani sorozat adott tagjához hozzáadjuk a differenciát, akkor a rákövetkező, ha az adott tagjából kivonjuk a differenciát, akkor a megelőző tagot kapjuk.

A számtani sorozat tetszőleges, n-edik tagjának, első tagjának és különbségének kiszámítására használható képlet:

a_n = a₁ + (n – 1) * d

Az első taghoz hozzáadjuk, a különbségnek a keresett tag sorszámánál 1-gyel kevesebbszeresét.

Példa

Határozzuk meg a számtani sorozat első öt elemét, ha ismerjük a 15. tagot, és a különbséget!

a₁₅ = 38

d = 3

a₁ = ? a₂ = ? a₃ =? a₄ = ? a₅ = ?

a_n = a₁ + (n – 1) * d

a₁₅ = a₁ + (15 – 1) * 3

38 = a₁ + (15 – 1) * 3

38 = a₁ + 42 //-42

-4 = a₁

a₁ = -4 a₂ = -1 a₃ = 2 a₄ = 5 a₅ = 8

A számtani sorozat első n tagjának összege: S_n

S_n =

Bizonyítás:

A számtani sorozat első n tagjának összegét megkapom, ha az elsőtől az n-edikig valamennyi tagot összeadom.

I. S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +.. . . + a_n-1 + a_n-2 + a_n

Az összeadandók sorrendjének felcserélhetőségéből következik, hogy a számtani sorozat első n tagjának összegét úgy is megkapom, ha az n-ediktől, az elsőig valamennyi tagot összeadom. A két összeg csak a tagok sorrendjében különbözik.

II. S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 + . . . . + a₄+ a₃ + a₂ + a₁

Minden tag felírható az első tag és a különbség, és az n-edik tag és a különbség segítségével is, felhasználva, hogy ha a számtani sorozat adott tagjához hozzáadjuk a differenciát, akkor a rákövetkező, ha az adott tagjából kivonjuk a differenciát, akkor a megelőző tagot kapjuk.

I. + II. = 2 S_n

A kettős nyíllal összekötött tagok összege a₁ + a_n. Mivel n darab ilyen tag van:

2 S_n = (a₁ + a_n ) * n // :2

Pontosan a bizonyítandó állítást kaptuk.

Példa

Határozzuk meg a számtani sorozat első 10 elemének az összegét, ha

a₁ = 5

d = 2

Ahhoz, hogy a képletet alkalmazni tudjuk, szükségünk van a 10. tagra.

a_n = a₁ + (n – 1) * d

a₁₀ = 5 + (10 – 1) * 2

a₁₀ = 23

S₁₀ = 140